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我正在试验一个程序:变量 X 的初始值是0,现在对其进行累加,每次累加有 50% 的概率加 1,另 50% 的概率加 2。当 X 的值大于或等于 100 时终止累加。
问:当累加终止时,累加执行次数的期望值是多少?
显然,累加终止时,变量 X 的值等于100或101。
我一开始认为,当累加终止时,假设累加执行次数为 n,应该有:
n * 0.5 + 2 * n * 0.5=100
或
n * 0.5 + 2 * n * 0.5=101
解得:n=200/3 或 n=202/3
此时,我认为获得两个解的概率是相等的,得到 n=201/3=67。
这个答案是错误的。
我尝试用 SAS 进行模拟,发现在1百万次累加测试中,约 66.67%次的累加终止时,X 的值为100,而另外 33.33% 次 X 的值为 101,也就是说,程序模拟的结果表明累加执行次数的期望值为 66.67%*200/3 + 33.33%*202/3 ≈ 66.89
。请问为什么终止累加时,X 的值为 100 的概率是 101 的两倍?