在你的记号里，\(B\)是真实系数向量，\(b\)是对\(B\)的估计，从形式\(b = B+(X'X)^{-1}X'e\)上你可以发现这是一个无偏估计，而后面\((X'X)^{-1}X'e\)就是估计误差。再考虑线性组\(Cb\)，代入计算即可得到\(Cb=CB+C(X'X)^{-1}X'e\)，同样的，这里的随机性来自于\(C(X'X)^{-1}X'e\)，算方差只需要关注这里就行。
\(C(X'X)^{-1}X'e\)其实就是一个\(ax\)的形式，其中\(a\)是某个固定的系数向量（注意到这里是行向量），\(x\)是随机向量（并且由于实际上这里是误差项，一般模型都会认为个体间独立，也就是误差向量内各元素独立），\(ax\)的结果是一个数值型随机变量，于是有如下结论
$$Var(ax) = a \cdot var(x)\cdot a^T$$
想推导其实很简单，照着方差的定义展开即可。
$$ Var(ax) = Var(\sum_i a_i x_i) = \sum_i Var(a_ix_i) = \sum_i a_i^2var(x_i) = a\cdot Var(x)\cdot a^T$$
这个推导用到了\(x\)中元素的独立性。但实际上即使\(x\)中元素不独立\(Var(ax) = a \cdot var(x)\cdot a^T\)也是正确的，只是此时\(var(x)\)是协方差矩阵，其中第i行第j列的元素就是\(x_i\)与\(x_j\)之间的协方差。至于证明依然是按照定义展开，只不过求和符号里的东西多一些。
