老师给了一个题的另一种解法，但没有给出证明，请求高手指点迷经

判定随机过程是否为标准布朗运动：

定理：随机过程{X[sub]（t）[/sub]，t》0}若满足【1】该过程为高斯过程；【2】期望EX[sub]（t）[/sub]=0;【3】协方差E{X[sub](t)[/sub]X[sub](s)[/sub]}为min{s,t}

则该过程为布朗运动。

这个定理有理论基础吗？
有限维分布是多元正态，矩条件保证了有平稳性，独立增量性
我认为这个题的关键在于通过所给的条件验证是否满足布朗运动的定义，标准正态分布，初始时刻为零点，有平稳独立增量，你的解释能再详细一些吗？
1、EX(0)=0，E{X(0)^2}=0 推出X(0)=0  a.s.  所以起于0点没有问题了。



高斯过程表明有限维分布是正态的，只需要确定期望和协方差即可。以下都会用到这一点。



2、期望为0，方差为D{W(t)}= E{X(t)^2}=t。所以W(t)  ∼ N(0, t ), ∀t > 0。（纠正一个你的错误，这不是标准正态）



3、D{W(t) −W(s)}=0也不难算出来，所以 W(t) −W(s) ∼ N(0, t − s), ∀t > s , 这就说明了平稳增量性。



4、E(W(t1) −W(s1))(W(t2) −W(s2)) = t1 − s1 − (t1 − s1)= 0, ∀s1≤t1 ≤ s2 ≤ t2.  而 Gauss 系中有限个随机变量之间的独立性与不相关性等价，所以对任给 s1 < t1 ≤ s2 < t2 ≤...≤ s, W(t1) − W(s1),W(t2) − W(s2), ... ,W(tn) − W(sn)相互独立。



OK？
5 天 后