心理学的危机

E(HH/HX) 的符号表述容易引起误解，因为在HX条件下HH的概率一般都写成 E(HH | HX)，等于0.5。杨老师说的是：E((HH次数/HX次数) | XXX中至少出现一次HX) 。两种E(...)对HHX事件取的概率密度不同，前者Prob(HHX)=2*Prob(HTX)，后者Prob(HHX)=Prob(HTX)。女生比例的问题链接结论是：有限人口无限时间后的预期=1/2；无限人口任意时间的预期=1/2。只有一户人按时间平均<1/2，其实是语文而非数学问题。HHX的例子对应的解读是：每户人家女孩比例按每户等权重平均，这本身是原题的语言误读。

概率密度上的错误和统计可重复性是两件应该切割开的事，合在一起叙述相得益彰，前者的精妙以气氛而非逻辑的方式提升了后者立论的说服力。吊诡的是，统计可重复性危机本质上正是说服气氛与逻辑的脱钩，p值自身的数学逻辑是自洽的

关于google试题，我想作者恐怕表达的是$E(X/Y)$和$E(X)/E(Y)$的区别，预期的男女比例之于预期男子数量与预期女子数量的比例。诚然，在生男生女比例各0.5时，后者是1了，若X/Y和Y间的关联不为0，前者是不等于后者的。
但考虑到问题的特殊性，最终男孩总数是常数，若X代表男孩数量，Y代表女孩数量，最终要考虑的是$cov(1/Y, Y)$，并不容易计算，先放置一下；不妨先反过来看，用Y表示男孩数量，X表示女孩数量，此时Y为常数，必然有$E(X/Y)=E(X)/E(Y)=1$。
回过头来看X=男孩数量，Y=女孩数量的情形。此时，$E(1/Y)$表示的是一个随机变量倒数的期望，无论是用调和平均值不等式，还是强行积分，不难发现，$E(1/Y) \neq 1/E(Y)$。这时我们可以下判断$E(X/Y) \neq E(X)/E(Y)=1$。

另附模拟代码：

n <- 10001                                                
p <- .5                                                   
## #boys = n                                              
## cal #girls, rbinom(1,1,.5) = 1 means having a baby girl
girl_fun <- function(num){                                
if(num == 0) return(NULL)                                 
s1 <- sum(rbinom(num, 1, p))                              
s2 <- girl_fun(s1)                                        
return(c(s1,s2))                                          
}                                                         
m <- 1000                                                 
res0 <- sapply(1:m, function(x)sum(girl_fun(n)))          
mean(res0/n)                                              
#> [1] 1.000081
mean(n/res0)                                              
#> [1] 1.000142

CMCai0104
：）想起以前看到的一个拙劣的段子。有人说民国时期的京沪铁路全程就只需 8 小时了，如果你实际去查资料，你会发现---惊人地---确实只需 8 小时，原因是民国时期的"京"指的是南京......

另一个联想是，100 个人坐十辆巴士，其中一辆巴士坐了 91 个人，所以人人觉得拥挤；另 9 辆每辆只坐一个人，所以人人都觉得不挤。如果问多大比例的人觉得巴士拥挤，答案是 91%，如果问多少比例的巴士上有人觉得拥挤，答案是 10%。

概念上的移花接木导致了答案的"奇妙"。