hypothesis testing 中的α,β, power function

1. power function 是以未知参数θ和否定域C为自变量的函数，其含义是：



总体参数为θ的条件下，样本落入否定域C的概率。 我在这里用P(θ,C)表示它，比较容易理解(就是你的γc(θ))：

  P(θ,C)=P{X1,...,Xn∈C|θ}.



2. 所以, 对给定的否定域C，对原假设下的每个θ(即θ∈Θ0时)求出来的P(θ,C)就是此θ为真参数的情况下，犯第一类错误的概率。当然，我们应该考虑原假设中所有可能的θ对应的P(θ,C)值， 特别是那个最大的P(θ,C)值：max{P(θ,C)：θ∈Θ0}。

 

我们在做检验之前，会给出一个检验精度要求，就是要求犯第一类错误的概率不超过某个值，这个值用α表示。当然，我们要求出这样的否定域C，使得

    max{P(θ,C)：θ∈Θ0}≤α。

一般来说，给定α，求出使上面的等号成立的否定域C就不错了。所以我们把 α=max{P(θ,C)：θ∈Θ0}叫做否定域为C时犯第一类错误的概率。更准确的说法是，max{P(θ,C)：θ∈Θ0}叫否定域C的真实水平，α叫检验水平。



3. 事实上满足上述要求的C一般不只一个，取哪一个呢？ 取使得犯第二类错误的概率尽可能小的那一个！

 

给定C，当θ∈Θ1，也就是对立假设为真时（准确地说，参数为θ时），1-P(θ,C)恰好是以C为否定域时犯第二类错误的概率。



所以我们应该找这样的否定域C，使得当θ∈Θ1（即对立假设为真）时，1-P(θ,C)尽可能小，即θ∈Θ1时P(θ,C) 尽可能大！正是从这个意义上说，P(θ,C)叫做否定域C的功效函数，当对立假设为真时，对应的P(θ，C)值反映了这个否定域C拒绝原假设的能力！



4. 总之，我们要找这样的否定域C，使得

当原假设为真时，即θ∈Θ0时，功效函数P(θ,C)尽可能小,不超过α；

当对立假设为真时，即θ∈Θ1时，功效函数P(θ,C)尽可能大(当然不可能无限制大下去)。



由此可见, power function 对于假设检验来说, 是一个多么深刻而漂亮的概念啊!