huangwu 1、请看上方定义。感觉集合D很多余(集合D是“聚点”概念中产生的)试想一下一下把上面定义的模板换成一维数列。定义中肯定不需要这个集合D。同理,在这里只有 $$U=(a,\eta)$$ (不知道为什么这latex公式无法正常显示) 不足以完成多元函数极限的定义么?为什么一定要先定义D,而且要强调“x沿集合D趋于a时”? 2、xn已经表示m维空间点集中的第n个点了,那m元函数f(x)又代表什么呢?m+1维空间中的一点?
JinLi 我觉得是他这个强调了 \(D\),使得定义更严谨吧,因为不同的 \(D\) 可能得到的结论不一样。我没有想到反例,对于一般函数的理解确实影响不大。 \( x_n \in D \subset R^m \) 作为「自变量」自然是 \( m \) 维的一个点,多元函数指的是 \( f: R^{m} \to R \),所以其实\( f(x) \)是一维的。而多元向量值函数是 \( f: R^m \to R^{p} \),\( f(x) = (f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{p} (x)) \),这时「因变量」是一个\( p \)维的向量。
ocssLin 是为了让函数在这个邻域上有定义,你说一个一维数列不需要D是错的,单纯因为一下能想到的例子都是符合条件的而已。 例子也很简单,考虑一个定义在R上的函数f(x),其定义域E是一个闭区间[a,b]和isolated point{c},显然点c是R的一个limit point,但对于集合E来说则不是。你可以理解这里R和E的区别就类似codomain和image的区别。