根据你给的图, "充分性"这一步, 要证的是向量列 x_n 的收敛性. x_n 的成员来自 Rn, 而它的第 i 个坐标 xi_n 则来自 R. 作者这里假设你知道实数集 R 是完备的, 所以它里面的柯西列存在极限 a. 然后由此说明 Rn 是完备的. 我觉得这里作者的思路其实有点诡异, 可能是因为我缺乏上下文
实数 R 里的 "柯西序列的收敛性不需要证明么"? 一般是不需要的. 你有兴趣可以看看实数的构造, 比如 Terry tao 那本实分析的前几章. 除了"柯西收敛定理", 还有"确界原理", "单调有界定理" 等都是在说"实数是完备的"这件事, 这些定理彼此可以互证.