Heterogeneity m=n并不是矩阵C=AB秩为k的必要条件。 如下例: a=array(data=c(rep(c(1/3,0,0),3),rep(c(0,1/2,0),2),rep(c(0,0,1/2),2)),dim=c(3,7)) b=array(data=1:14,dim=c(7,2)) # m=3, n=7, k=2 c=a%*%b c qr(a)$rank qr(b)$rank qr(c)$rank 在这个例子中,m=3<n=7,但是矩阵C=AB仍然是列满秩的,r(C)=2。
Heterogeneity 对于这个问题,我今天终于有了确定的答案。 对于满秩的A和满秩的B,只要A和B的维度相容(矩阵乘法有意义),那么C=AB也一定是满秩的。 证明: (1)矩阵可以看成一个(从列向量空间到行向量空间的)线性变换。 (2)如果矩阵满秩,那么这个线性变换为单射。 (3)线性变换是可以复合的,对于矩阵而言,这等价为矩阵相乘。 (4)单射与单射的复合仍然是单射。 所以两个满秩矩阵相乘就是两个单射的复合。结果仍然是单射,也就是说两个满秩矩阵相乘的结果仍然是满秩矩阵。
Heterogeneity sta0327 这里我不是非常懂,我记得当时回顾以前的线性代数课件,知道有矩阵的行秩等于列秩这么一说,所以在讨论矩阵的秩的时候就没有对其行秩和列秩做区分了。 对这个问题,你有什么见解?
Heterogeneity sta0327 你这么一说我好紧张……我的研究里,A就是行满秩矩阵,B就是列满秩矩阵……我现在观察到的AB都是(列)满秩的,但是理论上希望能证明出来。 有个问题啊, sta0327 设A为行满秩矩阵, B为列满秩,则AB为正方阵 这里AB不一定是正方阵啊。如A为\(m \times n\)矩阵,而B为\(n \times k\)矩阵,只要m、k不同,AB就不是方阵。 sta0327 但如果B的列向量落在A的零空间内的话,会使得矩阵AB的秩减小。。。 这一句能给一个例子吗?看着心慌慌…… 谢谢!
Heterogeneity 我可以再补充一点我的研究中矩阵A的性质: (1)A是一个扁长的矩阵,行数m不多于列数n。 (2)A的每一列有且仅有一个非零元素。 (3)A的每一行不全为零。 (2)(3)在一起就是说每一行中非零元素的位置都是独一无二的。
Oswaldjason Heterogeneity 你好,我也遇到了这方面的问题,望指教。矩阵\(A\)是\(n \times d\)维的列满秩矩阵,\(B\)是\(n \times n\)维的满秩矩阵,且\(B\)是信号\(S\)的协方差矩阵,\(B={\rm E}(SS^{\rm H})\), (\(S^{\rm H}\)是\(S\)的共轭转置,理想情况下\(B\)可以认为是单位矩阵)。那么矩阵 \(X=A^{\rm H}BA\) 是\(d \times d\)维的满秩矩阵吗?(\(A^{\rm H}\)是\(A\)的共轭转置)。目前我仿真的结果是\(X\)是满秩的,但我不知如何从理论上证明。望楼主多多指教。
Heterogeneity Oswaldjason 你的问题比我的简单一点……我可以用西尔维斯特不等式(Sylvester's rank inequality)证明一半。 西尔维斯特不等式(Sylvester's rank inequality): 令P为\(m \times n\)矩阵,Q为\(n \times d\)矩阵,则$${\rm r}(PQ)>={\rm r}(P)+{\rm r}(Q)-n$$ 参见:https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29 在你的例子里,你的矩阵\(A\)相当于\(Q\),而矩阵\(B\)相当于\(P\),其中$$m=n$$ $$n>d$$ 考虑\(BA\)的秩\({\rm r}(BA)\),有$${\rm r}(BA) \leq {\rm min}({\rm r}(B), {\rm r}(A))={\rm min}(n, d)=d$$ 同时由西尔维斯特不等式可得$${\rm r}(BA) \geq {\rm r}(B)+{\rm r}(A)-n=n+d-n=d$$ 所以\({\rm r}(BA) \leq d\)和\({\rm r}(BA) \geq d\)同时成立,于是只有$${\rm r}(BA)=d.$$
sta0327 enen 额 我的说法不太严谨 AB可能不是方阵 因为我最近在想这个问题。 如果假设AB是方阵的情况下 例子好多啊 比如: $$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]$$ $$B=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$$ 其中 $${\rm rank}(A)={\rm rank}(B)=1$$ 但是$${\rm rank}(AB)=0$$ 我的研究用到在AB分别是行满秩,列满秩并且AB是方阵的情况下, 怎么证明AB也是满秩,so。。。。你有什么看法么O(∩_∩)O
Oswaldjason sta0327 你确实举了个反例,但是我遇到的情况是行满秩矩阵和列满秩矩阵是互为共轭转置的。而且矩阵A是阵列导向矩阵,所以A也可认为是范德蒙德矩阵。所以我遇到的是一种特殊情况,我只要证明这组特殊情况成立就好了,但是我证不出来。忧桑啊......
Heterogeneity 看了一个帖子 https://math.stackexchange.com/questions/94287/full-rank-condition-for-product-of-two-matrices?rq=1 其中有一个回答是这样的: Somewhat expanding the comments, one can say the following. The rank of the product of a m×n and a n×p matrix can never exceed n (nor can it exceed m or p, but that is obvious from the size of the product). This is because, if you want to find r (for rank) vectors in the source space (of dimension p) whose images by the product of the matrices are linearly independent, then their images by the first matrix applied (B) must also be linearly independent, and this can only be the case if the dimension if the intermediate space permits it: r≤n. So if n<min(m,p) then the product can never have full rank. If min(m,p)≤n≤max(m,p) then the product will have full rank if both matrices in the product have full rank: depending on the relative size of m and p the product will then either be a product of two injective or of two surjective mappings, and this is again injective respectively surjective. This condition of full rank factors is not a necessary one though: if m≥n>p then A might have a nonzero kernel, as long as it forms a direct sum with the image of B, while if m<n≤p then the image of B need not be the whole space, as long as its sum with the kernel of A fills that space. When n>max(m,p) all one can say in general, knowing just the ranks of A and B, is the usual necessary condition either that B be injective (if m≥p) or that A be surjective (if m≤p) in order for AB to be injective respectively surjective, that is, full rank. Again the precise condition for AB to be injective is kerA⊕imB (this gives "full rank" when m≥p), and for AB to be surjective is kerA+imB=Rn (this gives "full rank" when m≤p). It may be interesting to note that one can define the rank of a m×p matrix C as the minimal value r such that there exists a decomposition C=AB with A of size m×r and B of size r×p. It does not immediately give a good method to compute the rank, but lets you understand immediately that you cannot have full rank in your question unless n≥min(m,p). 感觉很相关,但是很多地方看不太懂。 Marc van Leeuwen (https://math.stackexchange.com/users/18880/marc-van-leeuwen), Full-rank condition for product of two matrices, URL (version: 2013-12-26): https://math.stackexchange.com/q/189942