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Contents
Preface xiii
List of Contributors xv
1 Handbook of Time Series Analysis: Introduction and Overview
(Björn Schelter, Matthias Winterhalder, and Jens Timmer) 1
2 Nonlinear Analysis of Time Series Data
(Henry D. I. Abarbanel and Ulrich Parlitz) 5
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Unfolding theData: Embedding Theoremin Practice . . . . . . . . 6
2.2.1 Choosing T:AverageMutual Information . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Choosing D: FalseNearestNeighbors . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Interspike Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Where areWe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Lyapunov Exponents: Prediction, Classification, and Chaos . . . . 19
2.5 Predicting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Modeling Interspike Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Modeling the Observed Membrane Voltage Time Series . . 29
2.6.3 ODEModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Local and Cluster Weighted Modeling for Time Series Prediction
(David Engster and Ulrich Parlitz) 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Time Series Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Cross Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Bias,Variance,Overfitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 LocalModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Local PolynomialModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 LocalAveragingModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Locally LinearModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.5 Parameters of LocalModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.6 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.7 Optimization of LocalModels . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Handbook of Time Series Analysis. Björn Schelter, Matthias Winterhalder, Jens Timmer
Copyright © 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
ISBN: 3-527-40623-9
3.3 ClusterWeightedModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 The EMAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Noise Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2 Signal ThroughChaotic Channel . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3 FrictionModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Deterministic and Probabilistic Forecasting in Reconstructed State Spaces
(Holger Kantz and Eckehard Olbrich) 67
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Determinismand Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Events andClassification Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Dealing with Randomness in Biosignals
(Patrick Celka, Rolf Vetter, Elly Gysels, and Trevor J. Hine) 89
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Determinism:Does It Exist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 Randomness:An Illusion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.3 Randomness andNoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 How Do Biological Systems Cope with or Use Randomness? . . . 93
5.2.1 Uncertainty Principle in Biology . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 StochasticResonance in Biology . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 How Do Scientists and Engineers Cope with Randomness
andNoise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 ASelection ofCopingApproaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Global State-Space Principal Component Analysis . . . . . 99
5.4.2 Local State-Space Principal Component Analysis . . . . . . 109
5.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.1 Cardiovascular Signals: Observer of the Autonomic
CardiacModulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.2 Electroencephalogram: Spontaneous EEG and Evoked
Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5.3 SpeechEnhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Robust Detail-Preserving Signal Extraction
(Ursula Gather, Roland Fried, and Vivian Lanius) 131
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Filters Based on Local Constant Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.1 Standard Median Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.2 Modified Order Statistic Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.3 Weighted Median Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3 Filters Based on Local Linear Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3.1 Filters Based on Robust Regression . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3.2 Modified Repeated Median Filters . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.3 Weighted Repeated Median Filters . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 Modifications for Better Preservation of Shifts . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Linear Median Hybrid Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.2 Repeated Median Hybrid Filters . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4.3 Level ShiftDetection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4.4 ImpulseDetection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7 Coupled Oscillators Approach in Analysis of Bivariate Data
(Michael Rosenblum, Laura Cimponeriu, and Arkady Pikovsky) 159
7.1 Bivariate Data Analysis: Model-Based Versus Nonmodel-Based
Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.1 Coupled Oscillators: Main Effects . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.1.2 Weakly Coupled Oscillators: Phase Dynamics Description . 163
7.1.3 Estimation of Phases fromData . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.1.4 Example: Cardiorespiratory Interaction in a Healthy Baby . 166
7.2 Reconstruction of PhaseDynamics fromData . . . . . . . . . . . . 167
7.3 CharacterizationofCoupling fromData . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.1 Interaction Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.2 Directionality ofCoupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.3 Delay inCoupling fromData . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.4 Conclusions andDiscussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Nonlinear Dynamical Models from Chaotic Time Series:
Methods and Applications
(Dmitry A. Smirnov and Boris P. Bezruchko) 181
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Scheme of theModeling Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.3 “White Box” Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.1 Parameter Estimates and TheirAccuracy . . . . . . . . . . . 184
8.3.2 HiddenVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3.3 What Do We Get from Successful and Unsuccessful
ModelingAttempts? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4 “GrayBox” Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4.1 Approximation and “Overlearning” Problem . . . . . . . . 191
viii Contents
8.4.2 Model Structure Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4.3 Reconstruction of RegularlyDriven Systems . . . . . . . . . 194
8.5 “BlackBox” Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.1 Universal Structures ofModel Equations . . . . . . . . . . . 195
8.5.2 Choice ofDynamicalVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.6 Applications of EmpiricalModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.6.1 Method to Reveal Weak Directional Coupling
Between Oscillatory Systems from Short Time Series . . . . 200
8.6.2 Application toClimaticData . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.6.3 Application to ElectroencephalogramData . . . . . . . . . . 203
8.6.4 OtherApplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9 Data-Driven Analysis of Nonstationary Brain Signals
(Mario Chavez, Claude Adam, Stefano Boccaletti and Jacques Martinerie) 213
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1.1 EMD-RelatedWork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.2 Intrinsic Time-ScaleDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2.1 EMDand Instantaneous Phase Estimation . . . . . . . . . . 216
9.2.2 Drawbacks of the EMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.3 Intrinsic Time Scales of Forced Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.4 Intrinsic Time Scales ofCoupled Systems . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.5 Intrinsic Time Scales of Epileptic Signals . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.5.1 IntracerebralActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.5.2 MagnetoencephalographicData . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.6 Time-Scale Synchronization of SEEGData . . . . . . . . . . . . . . 225
9.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10 Synchronization Analysis and Recurrence in Complex Systems
(Maria Carmen Romano, Marco Thiel, Jürgen Kurths, Martin Rolfs,
Ralf Engbert, and Reinhold Kliegl)
231
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2 Phase Synchronization byMeans of Recurrences . . . . . . . . . . . 233
10.2.1 Examples ofApplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.2.2 Influence ofNoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.3 Generalized Synchronization and Recurrence . . . . . . . . . . . . . 243
10.3.1 Examples ofApplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4 Transitions to Synchronization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.5 Twin Surrogates to Test for PS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.6 Application to Fixational EyeMovements . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11 Detecting Coupling in the Presence of Noise and Nonlinearity
(Theoden I. Netoff, Thomas L. Carroll, Louis M. Pecora, and Steven J. Schiff ) 265
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.2 Methods ofDetectingCoupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.2.1 Cross-Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.2.2 Mutual Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.2.3 Mutual Information in TwoDimensions . . . . . . . . . . . 268
11.2.4 PhaseCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.2.5 ContinuityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.3 Linear andNonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.3.1 GaussianDistributedWhiteNoise . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.3.2 AutoregressiveModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.3.3 HénonMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.3.4 RösslerAttractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.3.5 CircuitData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.4 Uncoupled Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.4.1 Correlation Between Gaussian Distributed Random
Data Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
11.4.2 Correlation BetweenUncoupledARModels . . . . . . . . . 274
11.4.3 Correlation BetweenUncoupledHénonMaps . . . . . . . . 275
11.4.4 Correlation BetweenUncoupled RösslerAttractors . . . . . 275
11.4.5 Uncoupled Electrical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.5 WeaklyCoupled Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.5.1 CoupledARModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.5.2 CoupledHénonMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.5.3 WeaklyCoupled RösslerAttractors . . . . . . . . . . . . . . 277
11.5.4 Experimental ElectricalNonlinearCoupledCircuit . . . . . 278
11.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12 Linear Models for Mutivariate Time Series
(Manfred Deistler) 283
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.2 Stationary Processes and Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . 284
12.3 Multivariable State Space and ARMA(X)Models . . . . . . . . . . 288
12.3.1 State Space and ARMA(X) Systems . . . . . . . . . . . . . . 289
12.3.2 Realization of State Space andARMASystems . . . . . . . 291
12.3.3 Parametrization and Semi-Nonparametric Identification . . 293
12.3.4 CCA-SubspaceEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
12.3.5 Maximum Likelihood Estimation Using Data Driven Local
Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12.4 FactorModels for Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.4.1 PrincipalComponentAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
12.4.2 FactorModelswith IdiosyncraticNoise . . . . . . . . . . . . 301
12.4.3 Generalized LinearDynamic FactorModels . . . . . . . . . 303
12.5 Summary andOutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13 Spatio-Temporal Modeling for Biosurveillance
(David S. Stoffer and Myron J. Katzoff ) 309
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
13.3 The State SpaceModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
13.4 SpatiallyConstrainedModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.5 DataAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
14 Graphical Modeling of Dynamic Relationships
in Multivariate Time Series
(Michael Eichler) 335
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14.2 GrangerCausality inMultivariate Time Series . . . . . . . . . . . . 337
14.2.1 GrangerCausality andVectorAutoregressions . . . . . . . . 337
14.2.2 GrangerCausality in the FrequencyDomain . . . . . . . . . 340
14.2.3 BivariateGrangerCausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
14.3 GraphicalRepresentations ofGrangerCausality . . . . . . . . . . . 342
14.3.1 PathDiagrams forMultivariate Time Series . . . . . . . . . 342
14.3.2 BivariateGrangerCausalityGraphs . . . . . . . . . . . . . . 344
14.4 Markov Interpretation of PathDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . 346
14.4.1 Separation in Graphs and the Global Markov Property . . . 346
14.4.2 TheGlobalGranger-CausalMarkov Property . . . . . . . . 348
14.4.3 Markov Properties for Bivariate PathDiagrams . . . . . . . 351
14.4.4 Comparison of Bivariate and Multivariate Granger Causality 352
14.5 Statistical Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
14.5.1 Inference in the TimeDomain . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
14.5.2 Inference in the FrequencyDomain . . . . . . . . . . . . . . 355
14.5.3 GraphicalModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14.6.1 Frequency-Domain Analysis of Multivariate Time Series . . 358
14.6.2 Identification of Tremor-RelatedPathways . . . . . . . . . . 363
14.6.3 Causal Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
14.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
15 Multivariate Signal Analysis by Parametric Models
(Katarzyna J. Blinowska and Maciej Kamiński) 373
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15.2 ParametricModeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15.3 LinearModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
15.4 ModelEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
15.5 CrossMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
15.6 CausalEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
15.7 Modeling ofDynamic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
15.8 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
15.8.1 Common Source in ThreeChannels System . . . . . . . . . 384
15.8.2 Activity Sink in FiveChannels System . . . . . . . . . . . . 384
15.8.3 Cascade Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
15.8.4 Comparison betweenDTF and PDC . . . . . . . . . . . . . . 392
15.9 MultivariateAnalysis of ExperimentalData . . . . . . . . . . . . . . 394
15.9.1 Human SleepData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
15.9.2 Application of a Time-Varying Estimator of Directedness . 400
15.10Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.11Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
16 Computer Intensive Testing for the Influence Between Time Series
(Luiz A. Baccalá, Daniel Y. Takahashi, and Koichi Sameshima) 411
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
16.2 BasicResamplingConcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
16.3 Time SeriesResampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
16.3.1 Residue Resampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
16.3.2 Phase Resampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
16.3.3 Other ResamplingMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
16.4 NumericalExamples andApplications . . . . . . . . . . . . . . . . 420
16.4.1 SimulatedData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
16.4.2 RealData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
16.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
16.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
17 Granger Causality: Basic Theory and Application to Neuroscience
(Mingzhou Ding, Yonghong Chen, and Steven L. Bressler) 437
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
17.2 Bivariate Time Series and PairwiseGrangerCausality . . . . . . . . 438
17.2.1 TimeDomain Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
17.2.2 FrequencyDomain Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 440
17.3 TrivariateTime Series andConditionalGrangerCausality . . . . . 443
17.3.1 TimeDomain Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
17.3.2 FrequencyDomain Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 445
17.4 Estimation ofAutoregressiveModels . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
17.5 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
17.5.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
17.5.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
17.5.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
17.6 Analysis of a Beta Oscillation Network in Sensorimotor Cortex . . 454
17.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
18 Granger Causality on Spatial Manifolds:
Applications to Neuroimaging
(Pedro A. Valdés-Sosa, Jose Miguel Bornot-Sánchez, Mayrim Vega-Hernández,
Lester Melie-García, Agustin Lage-Castellanos, and Erick Canales-Rodríguez)
461
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
18.2 The Continuous Spatial Multivariate Autoregressive Model
and itsDiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
18.3 Testing for SpatialGrangerCausality . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
18.4 Dimension ReductionApproaches to sMARModels . . . . . . . . . 468
18.4.1 ROI-BasedCausalityAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
18.4.2 LatentVariable-BasedCausalityAnalysis . . . . . . . . . . . 469
18.5 Penalized sMAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
18.5.1 GeneralModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
18.5.2 Achieving SparsityViaVariable Selection . . . . . . . . . . . 474
18.5.3 Achieving Spatial Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
18.5.4 Achieving Sparseness and Smoothness . . . . . . . . . . . . 477
18.6 Estimation via theMMAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
18.7 Evaluation of SimulatedData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
18.8 Influence Fields for RealData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
18.9 Possible Extensions andConclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Index 493
