newman2006
从1到N中选取n个数,求这些数按照不严格单调递增的顺序排列的概率
想不明白,难道要分类讨论?请高手指教
ninghe524
我认为是:
首先考虑条件“不严格单调递增”。那么先求“严格单调递增”。
“单调”即没有回落。
“递增”是否是指相邻两个数之间没有间隙?不太清除这个递增的严格定义。所以分两种情况说。
第一种:“递增”是指相邻数之间无间隙,如2、3、4……
从N个数当中取n个的总的基本结果是C(N,n)。
前提如果是n小于等于N。n个数严格递增的基本结果数:N-n+1(可看作n列宽度的数在N的范围内滑动的总的位置数)
那么概率P=1-[(N-n+1)/C(N,n)]
第二种:如果“递增”可以泛指前后的数构成等差数列。
那么基本结果仍是C(N,n)。
n个数排列为严格递增的基本结果数会减小:
n个数字有n-1个间隙,间隙可以插入不同数目的数字,也就是前后两个的差值可以是1,可以是2、3、4 。但总体要求最后一个数不能大于N。
设H为严格递增基本结果数: H=N-[n+x(n-1)]+1 ——x是等差的差值。x最大不能超过(N-n)/(n-1)的整数部分。
概率P=1-[(H)/(C(N,n))]
ninghe524
总的概率应该是:
设(N-n)/(n-1)的整数部分是R
P=1-(西格玛x从1到R)[(H)/(C(N,n))]
newman2006
有人告诉我可以这样完成:
虽然不是严格单调,但是可以通过构造一个对应函数把不严格的数列映射成为一个严格函数,做法是
把取出来的数依次+0,+1,+2,+3,...+n-1,这样无论如何可以构造出一个严格单调的数列,把原来的不严格转化成为严格单调,于是问题相当于在N+n-1个数中选取出n个数,而且这n个数是严格单调的,这样就可以了
不知道大家的意见如何?
欢迎指正,欢迎其他做法