假定 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的指数随机变量，但参数不同。 如何推导这个条件概率 $P(X<x|X<Y)$？ 有没有大体的解题思路？谢谢

按定义算呗，由独立且指数分布可知(X,Y)(X, Y)的联合密度是f(x,y;λ1,λ2)=λ1e−λ1xλ2e−λ2yf(x,y;\lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1 e^{-\lambda_1x} \lambda_2 e^{-\lambda_2y}。那么
P(X<Y)=∫0∞∫x∞f(x,y)dydx=λ1λ1+λ2P(X<Y)=\int_0^\infty \int_x^\infty f(x,y)dydx = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}
以及
P(X<x,X<Y)=∫0x∫s∞f(s,y)dyds=∫0xλ1e−(λ1+λ2)sds=λ1λ1+λ2(1−e−(λ1+λ2)x)P(X<x, X<Y) = \int_0^x\int_s^\infty f(s,y)dyds = \int_0^x\lambda_1 e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)s}ds = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}(1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x})
所以
P(X<x∣X<Y)=P(X<x,X<Y)/P(X<Y)=1−e−(λ1+λ2)xP(X<x|X<Y)=P(X<x, X<Y)/P(X<Y)=1 - e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}

多说一句，这好像是生存分析指数分布模型下的基本结论，翻翻教材里面应该都有的吧？