Compute P{X>=YZ}

lin810221

Let X,Y and Z are independent and uniformly distribution over (0,1).
Compute P{X>=YZ}
這題詳解我有一些問題想了解
P{X>YZ} = ∫P{X>YZ|Z=z}f(z)dz 這個式子為何會用到條件機率?是為了要跟後面的
F(Z)對消嗎? 也因為這樣，所以才對Z積分得嗎?

∫P{X>zY}dz = ∫(1-z/2)dz = 3/4 這邊1-z/2是怎麼來的?

Heterogeneity

Y、Z、Y 和Z的积这三个变量的关系可以表达为一个三维空间里的曲顶柱体：柱体的每一个位置是（Y，Z）,这个位置上的高即为Y*Z。另一方面，这个曲顶柱体是被包含在边长为1的一个立方体里的。我们可以随意从这个立方体中取一个点（由X、Y、Z的题设），那么可以想见这个点的坐标是（Y，Z，X），其中Y和Z是点在曲顶柱体底部的投影，X则是点的高度。

现在关心X大于Y*Z的概率，其实就在问这个点在柱体外面的概率有多大，也就是曲顶柱体上方的体积有多大。这是很简单的二重积分。二重积分怎么解？无他，唯降维耳。

为什么用到条件概率？这就是为了降维啊。这相当于对着柱体切了一刀，切面平行于XOY平面，而Z轴在Z=z点处被砍断了。于是问题转化为在这个切面里，多大的面积在柱体截面之上。对这个概率密度沿Z轴积分，即可解决这个问题。同样地，你如果对Y进行积分也是一回事。

你问的第二个问题应该很容易就想出来了，你画画图就清楚了：）

CMCai0104

没人解释，我来推到下吧。其实，主要是作者有些跳步。

首先， $P(X>YZ) = \int P \{ X>YZ|Z=z \} f(z)dz<code class="katex-escape">$ 没记错应该叫全概率公式，如果Z是离散的，可能比较容易理解 $$$$ P(X>YZ) = \sum_{z} P \{ X>YZ|Z=z \} P(Z=z)$$</code>. 这里Z是连续的，所以

$P(X>YZ) = \int P \{ X>YZ|Z=z \} dF(z) = \int P \{ X>YZ|Z=z \} f(z)dz$

所以 $P(X>YZ) = \int P \{ X>YZ|Z=z \} f(z)dz = \int P \{ X>Yz|Z=z \} f(z)dz<code class="katex-escape">$ . 再根据Z的分布和独立性， $$$$ P(X>YZ) = \int P \{ X>Yz|Z=z \} f(z)dz = \int P \{ X>Yz \} dz $$</code>.
至于计算 $P \{ X>Yz \}$ , 是最基础的概率计算问题，这里z是常数，X和Y是0-1上独立均匀分布，自己练习吧。

yihui

均匀分布密度函数是常数，这种概率问题用手指在空气中划划应该就能把二元定积分算出来吧（前提是知道楼上说的全概率公式）。