连续映射定理和斯拉茨基定理的联系与区别

Heterogeneity

请问连续映射定理（Continuous Mapping Theorem，https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem）与斯拉茨基定理（Slutsky's Theorem，一句话说就是plim g(x) = g (plim x)）的联系与区别？

感谢。

yihui

Heterogeneity 斯拉茨基定理可算是连续映射定理的一个简单推论吧，也就两个变量相加、乘、除都是这两个变量的连续函数；连续映射定理基本上说的是只要随机变量以某种形式收敛，其连续函数也以同样的形式收敛。当然，从连续映射定理推论斯拉茨基定理还需要一个额外步骤，就是两组随机变量各自分别收敛的话，它们组成向量之后也一样收敛。前面说的“连续函数”是这个向量的连续函数。

Heterogeneity

yihui 感谢前辈的回复！

Heterogeneity

感谢楼上几位大神的悉心指点，走过看过没有错过。
我现在的理解是这样的。

我之前对斯拉茨基定理的理解（plim g(x)=g(plim x)）可能有些……小众？后来不断对比发现，似乎只有Greene 2012, Theorem D.12, p.1113是这么定义的。其它更常见的对斯拉茨基定理（两个收敛的四则运算），在前述教材中都只是斯拉茨基定理的推论。

首先，来自于yihui 的见解，先有了连续映射定理，再有了它的推论，即斯拉茨基定理。
其次，来自于yihui Ihavenothing , 从连续映射定理到斯拉茨基定理，中间需要额外补充其中一个变量依分布收敛到常数，这样两个随机变量的联合分布才依分布收敛。
最后，来自于ksxinyuh h ,为什么要补充收敛到常数这一条件？因为这样的话依分布收敛也能得到和几乎处处收敛、依概率收敛一样的效果了，具有数学的对称美。

纯兴趣追问：那么如果有n个随机变量，若斯拉茨基定理成立，就得有n-1个随机变量依分布收敛于常数了吧？

Ihavenothing

Slutsky 定理的陈述中两个随机变量是各自收敛的，没有关于它们联合分布的假定，因此 @yihui 提到的一点很重要，就是其中有一个随机变量是收敛到常数的，因为这样它们才联合收敛到目标向量，从而套用连续映射定理。

Heterogeneity

Ihavenothing 是的是的。我在维基百科的相关页面发现特别强调了这一点。

ksxinyuh

如果分量收敛，那么在a.s.和p的意义下，联合都是收敛的。但是在d的意义下是不行的。
所以在a.s.和p的意义下，如果我们知道xn收敛到x，yn收敛到y，那用连续映射定理就可以得到xn+yn收敛到x+y。但是在d的意义下不行。
所以slutsky在此基础上加了一个条件使得在d的意义下仍能得到这个结果，那就是其中一个变量收敛到常数。
其实如果这两个变量独立或者渐进独立也是可以得到这一结果的。
这些条件都是为了弥补d意义下联合不收敛这一缺陷。

yihui

ksxinyuh 说来这好像是这么多年来我第一次在 R 会议组织者中看到一个学术讨论（感觉平时要么就是在吃吃喝喝、要么就是在印发会议材料、要么就是在微信排版），极少有讨论具体学术问题，当然轩哥是例外。这个我得拿个小本子记下来。空山新雨后，随机变量收。

Heterogeneity

ksxinyuh 这个认识太精辟了。感谢指点。