Heterogeneity 现有\(m \times n\)的矩阵\(A\)和\(n \times k\)的矩阵\(B\),满足$$n \geq m > k$$ A是行满秩的,B是列满秩的,即$${\rm r}(A)=m$$ $${\rm r}(B)=k$$ 根据秩的性质有$${\rm r}(AB) \leq {\rm min}({\rm r}(A), {\rm r}(B))={\rm min}(m, k)=k$$ 我想请问在什么情况下上式可以取得等号呢,即 $${\rm r}(AB)=k$$ 谢谢。
Heterogeneity m=n并不是矩阵C=AB秩为k的必要条件。 如下例: a=array(data=c(rep(c(1/3,0,0),3),rep(c(0,1/2,0),2),rep(c(0,0,1/2),2)),dim=c(3,7)) b=array(data=1:14,dim=c(7,2)) # m=3, n=7, k=2 c=a%*%b c qr(a)$rank qr(b)$rank qr(c)$rank 在这个例子中,m=3<n=7,但是矩阵C=AB仍然是列满秩的,r(C)=2。
Heterogeneity 对于这个问题,我今天终于有了确定的答案。 对于满秩的A和满秩的B,只要A和B的维度相容(矩阵乘法有意义),那么C=AB也一定是满秩的。 证明: (1)矩阵可以看成一个(从列向量空间到行向量空间的)线性变换。 (2)如果矩阵满秩,那么这个线性变换为单射。 (3)线性变换是可以复合的,对于矩阵而言,这等价为矩阵相乘。 (4)单射与单射的复合仍然是单射。 所以两个满秩矩阵相乘就是两个单射的复合。结果仍然是单射,也就是说两个满秩矩阵相乘的结果仍然是满秩矩阵。
Heterogeneity sta0327 这里我不是非常懂,我记得当时回顾以前的线性代数课件,知道有矩阵的行秩等于列秩这么一说,所以在讨论矩阵的秩的时候就没有对其行秩和列秩做区分了。 对这个问题,你有什么见解?
Heterogeneity sta0327 你这么一说我好紧张……我的研究里,A就是行满秩矩阵,B就是列满秩矩阵……我现在观察到的AB都是(列)满秩的,但是理论上希望能证明出来。 有个问题啊, sta0327 设A为行满秩矩阵, B为列满秩,则AB为正方阵 这里AB不一定是正方阵啊。如A为\(m \times n\)矩阵,而B为\(n \times k\)矩阵,只要m、k不同,AB就不是方阵。 sta0327 但如果B的列向量落在A的零空间内的话,会使得矩阵AB的秩减小。。。 这一句能给一个例子吗?看着心慌慌…… 谢谢!
Heterogeneity 我可以再补充一点我的研究中矩阵A的性质: (1)A是一个扁长的矩阵,行数m不多于列数n。 (2)A的每一列有且仅有一个非零元素。 (3)A的每一行不全为零。 (2)(3)在一起就是说每一行中非零元素的位置都是独一无二的。
Oswaldjason Heterogeneity 你好,我也遇到了这方面的问题,望指教。矩阵\(A\)是\(n \times d\)维的列满秩矩阵,\(B\)是\(n \times n\)维的满秩矩阵,且\(B\)是信号\(S\)的协方差矩阵,\(B={\rm E}(SS^{\rm H})\), (\(S^{\rm H}\)是\(S\)的共轭转置,理想情况下\(B\)可以认为是单位矩阵)。那么矩阵 \(X=A^{\rm H}BA\) 是\(d \times d\)维的满秩矩阵吗?(\(A^{\rm H}\)是\(A\)的共轭转置)。目前我仿真的结果是\(X\)是满秩的,但我不知如何从理论上证明。望楼主多多指教。
Heterogeneity Oswaldjason 你的问题比我的简单一点……我可以用西尔维斯特不等式(Sylvester's rank inequality)证明一半。 西尔维斯特不等式(Sylvester's rank inequality): 令P为\(m \times n\)矩阵,Q为\(n \times d\)矩阵,则$${\rm r}(PQ)>={\rm r}(P)+{\rm r}(Q)-n$$ 参见:https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29 在你的例子里,你的矩阵\(A\)相当于\(Q\),而矩阵\(B\)相当于\(P\),其中$$m=n$$ $$n>d$$ 考虑\(BA\)的秩\({\rm r}(BA)\),有$${\rm r}(BA) \leq {\rm min}({\rm r}(B), {\rm r}(A))={\rm min}(n, d)=d$$ 同时由西尔维斯特不等式可得$${\rm r}(BA) \geq {\rm r}(B)+{\rm r}(A)-n=n+d-n=d$$ 所以\({\rm r}(BA) \leq d\)和\({\rm r}(BA) \geq d\)同时成立,于是只有$${\rm r}(BA)=d.$$
sta0327 enen 额 我的说法不太严谨 AB可能不是方阵 因为我最近在想这个问题。 如果假设AB是方阵的情况下 例子好多啊 比如: $$A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \end{array}\right]$$ $$B=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$$ 其中 $${\rm rank}(A)={\rm rank}(B)=1$$ 但是$${\rm rank}(AB)=0$$ 我的研究用到在AB分别是行满秩,列满秩并且AB是方阵的情况下, 怎么证明AB也是满秩,so。。。。你有什么看法么O(∩_∩)O
Oswaldjason sta0327 你确实举了个反例,但是我遇到的情况是行满秩矩阵和列满秩矩阵是互为共轭转置的。而且矩阵A是阵列导向矩阵,所以A也可认为是范德蒙德矩阵。所以我遇到的是一种特殊情况,我只要证明这组特殊情况成立就好了,但是我证不出来。忧桑啊......