ilikemath
这是一道很老的题目,在李贤平《概率论基础》书上有这样一道习题,原题是:“证明:在正交变换下,多元正态分布的独立、同方差性不变。”
这道题在证明的时候,首先假设了X1,...,Xn是独立同分布于N(mu,sigma^2),再对向量X'=(X1,...,Xn),做正交变换Y=AX,考虑到正交距阵的性质,就可以证明了。
昨天我的学妹来问我说,独立同分布的前提假设不对,应该单独证明保持独立性和同方差性,即证明:
(1)如果Xi独立,变换后的Yi也独立。(显然可证!)
(2)如果Xi同方差(此时不一定满足独立性),变换后的Yi也同方差。(?未证)
但是,我看到李老师的参考书《概率论与数理统计》上面就是先假设独立同分布,我的问题是:如果没有这个假定,(2)可以得到证明么?