抽象分析比起抽象代数更需要几何想象力. 但两者相似的地方在于都基于对若干特殊的集合的研究. 这样的模式似乎是常例, 因为几乎可以说数学的任何对象都是集合, 所以任何数学研究都可以化为对某个(某类)特别的集合的研究.
有时把集合称为空间,因为我们想象其中元素具有活性, 可以动, 可以对话, 他们好比生活在抽象空间中的生物.
有三种空间(集合)被研究得很深入, 应用也很广泛. 他们是度量空间(又叫距离空间, Metric Space), 拓扑空间(Topological Space)和可测空间(Measurable space). 他们都是两个东西的捆绑. 两个东西中作为基础的是一个集合亦即空间, ;另一个作为装饰的分别是"度量Metric", "拓扑Topology"和"σ-代数 σ-algebra." 这三个装饰中第一个"度量Metric"是一个函数的比较花哨的叫法, 比较朴实地可叫它距离函数. 函数是熟悉的概念. 这个距离函数的意义在于任意从空间中取两个点, 通过这个距离函数就可以对这两个点定义"他们之间的距离". 比如R^2平面上两点间最经常用到的距离是他们坐标平方和的开方, 这个"平方和的开方"其实可以看作一个函数, 我们常叫它"欧几里德距离函数"或称"欧几里德度量". 所以我们常常说的"n维欧几里德空间"是指R^n加上这个欧几里德距离函数所成的度量空间. 所以要把这个例子推广到一般情形, 则可这样定义一个抽象的函数: 度量(距离函数), 取名d, d从作为基础的那个空间中任取两个点a,b, 而函数值d(a,b)则为单值. 进一步再添三个条件, 首先距离值要非负d(a,b)>=0, 其次, 点a到点b的距离要等于点b到点a的距离d(a,b)=d(b,a), 第三, 比较特殊(所以很有用), 距离要满足三角形不等式 d(a,b)+d(b,c)>=d(a,c).
拓扑空间则是一个集合加一个拓扑. 拓扑是一个集类...
所谓集类就是一个集合的集合, 特别称其为集类, 有深层次原因, 因为集合的集合在一些情况下并不像点的集合那般. 即有些在点集上可以定义的性质或概念, 无法在集合的集合上定义. 一个显著的差异就是之所以称其为"点"是因为不想去考虑它有任何的内部结构. "点"不能包含其他东西, 它是系统的底部,没有内部结构. 举例来说或许我们可以定义"全体点"这个集合, 但我们不能定义"全体集合"这个集合. 因为这会导致悖论: 为简便, 称"全体集合"叫A. 若考虑A和A自己的属于-包含关系. 因为既然"全体集合", 那它就应该包含本身. 这种说法本身就提示了一个麻烦: 既然可以有自己属于自己的集合, 那就可以作一个"全体自己属于自己的集合", 那另一半就是"全体自己不属于自己的集合", 这两个集合互相排斥, 不能有公共元. 那就去考虑"全部自己不属于自己的集合"这个集合, 给个名字叫Ghost, 你会发现它就是那个不允许存在的公共元, 就像幽灵一般. 比如说你假设Ghost属于"全部属于自己的集合", 那他就不属于"全部不属于自己的集合", 但按造后者的名字, 它又应该属于后者. Amen! 这是至今未彻底搞定的集合论原罪. 但数学还是要做的, 所以姑且先用个"集类"来假装这个问题可以用如此简单的换名来解决.
...拓扑是一个集类. 它是由空间的若干子集组成的集类. 如何选取这些子集没有确定的法则, 但有3条规矩: 第一,空集要被选进去, 第二,不管选了哪些集, 从已经选的集合中任意取出一些作出的并集也要加入拓扑, 第三,从已经选好的集合中取出任意但有穷个集合用它们作成的交集也要加入拓扑. 只要这三条满足, 这个集类便是拓扑.
可测空间顾名思义这个空间中的集合可以被测量. 测量也就是给集合赋一个大小. 我们将可测空间的具体讨论延后.
本贴先主要讨论度量空间上的拓扑. topic如下列, 顺序的先后表明逻辑上的先后.
1. 开球
2. 内点, 外点, 内部, 外部
3. 开集
4. 闭集
5. 闭球
6. 聚点和导集
7. 黏着点和闭包
9. 孤立点
10. 边界点与边界
11. 有界性
12. Rn上的Bolzano-Weierstrass Theorem
13. Rn上的Cantor Intersection Theorem
14. 覆盖
15. Rn上的Lindlof定理
16. Rn上的Heine-Borel定理
17. 紧性
18. 点列极限与收敛
19. 柯西性
20. 完备性
21. 连通性
22. 路连通性
1. 开球 Open Ball
人们研究微积分到一定火候时, 发现定理越来越多, 现象越来越复杂, 问题也越来越深刻. 于是作一个归纳整理的时候便到了. 数学家遂决定, 抛掉能在一堆纷杂定理上建立体系来解答被提出的问题的幻想, 而从头来过, 抽象出一个集合, 和一个简单到不能再简单的距离(或叫度量metric)为这个集合中任意两个点定义一种关系. 在这样简单而澄澈的基础上建立同样澄澈无暇的抽象体系, 进而渴望能对一些重要问题作出解答. 时间验证了这种做法的有效性. 于是我们沿着前人的脚印, 从这个一个集合加一个距离关系的度量空间(Metric Space)出发, 向心中的问题出征.
一开始, 记住我们有一个集合, 一个距离. 前者只是一堆平淡无奇的点, 后者只是一个函数, 可以通过我们所熟悉的欧式空间的样子来比划. 为了阐述方便, 我们称度量空间为(X,d), 其中X是集合, d是距离函数:
我们先随便取一点p, 然后取个距离值r上去, 那最容易想到的玩法就是先看有多少点和我距离小于r. 这些点显然掉在一个"球"里. 但抽象的看待这个问题, 也可认为是纯符号地看这个问题, 这是如此一个集合B(p;r)(取Ball的首字母) , B的左下和右下两个角标联合表示讨论所在的度量空间, 也常在不会引起误解的时候略去一个或两个角标.
备注:
i. 开球是在给定度量空间的前提下才开始定义的. 度量空间不同, 两个开球完全没有可比性.
ii. 度量空间相同是指集合和距离函数都相同.
iii. 这里没有定义"集合的开性openness", 叫它开球是随意取定的名字. 在度量空间中开性是反过来基于开球而定义的. 在拓扑空间(Topological Space)中, 对开集的定义更是完全随便的.
iv. 若纯粹看公式, 并在低维欧式空间中打比方, 会感到开球是一个再简单不过的概念.
习题: 设B(x;r)是一个球心为x, 半径为r的开球, 现于一半半径的球B(x;r/2)内取一点y, 证明度量空间中全体到y距离小于r/2的点都在原开球B(x;r)内.
习题: 证明开球中任意一个点周围都能围一个开球使其完全落在原开球中.
2. 内点, 外点, 内部, 外部 Interior Points, Exterior Points, Interior, Exterior
设(X,d)为所讨论度量空间, S是X的子集, 点x是空间X中的点, 称x为S的内点如果存在开球B(x;r)(即存在正数r)含于S中. S的全体内点组成的集合称为S的内部,记作int(S)
设(X,d)为所讨论的度量空间, S是X的子集, 点x是空间X中的点, 称x为S的外点如果存在开球B(x;r)(即存在正数r)含于X\S中. S的全体外点组成的集合称为S的外部, 记作ext(S)
习题: 证明任一开球中的每一点都是该开球的内点.
习题: 证明一维欧式空间R1上的点0既不是区间(0,1)的内点也不是(0,1)的外点.
习题: 求集合{-1}U[0,1)的内部和外部(度量空间取1维欧氏空间R1)
习题: 求有理数集的内部和外部(度量空间取1维欧氏空间R1)
习题: 证明int(int(S)) = int(S)
[u]为了简便, 以后在不至于混淆时使用"度量空间X中...", 或更简单的"X中..."来说明所在讨论的度量空间.[/u]
3. 开集 Open Set
设(X,d)为所讨论度量空间, S是X的子集. 称S为给定度量空间中的开集如果S的所有点都是内点.
习题: 说明给定度量空间(X,d), 集合S是其中开集当且仅当S = int(S)
习题: 证明int(S)和ext(S)总是开集
习题: 说明空集总是开集, X也总是开集
习题: 证明R1中任意开区间都是开集.
习题: 证明R1中有理数集不是开集
习题: 证明任意个开集的并集是开集. ("任意个"包括有穷个, 可数无穷个, 不可数个等所有情形)
习题: 证明有穷个开集的交集是开集. 并给出一个无穷个开集的交集不是开集的例子.
4. 闭集, 开闭集, Closed Set, Clopen Set
设(X,d)为所讨论度量空间, S是X的子集. 称S为给定度量空间中的闭集如果X\S是给定度量空间中的开集.
设(X,d)为所讨论度量空间, S是X的子集. 称S为给定度量空间中的开闭集如果S同时是给定度量空间中的开集和闭集.
习题: 说明闭集的补集是开集.
习题: 证明R2中{(x,0): 0<x<1}是个闭集
习题: 证明单点集都是闭集
习题: 证明空集和全集都是闭集, 从而他们是开闭集
习题: 给定度量空间(X,d), 其中X = (0,1)U(1,2). 证明(0,1)和(1,2)都是X中的开闭集.
习题: 证明R1中有理数集不是闭集.
习题: 证明有穷个闭集的并集是闭集. 并给出一个无穷个闭集的并集不是闭集的例子.
习题: 证明任意个闭集的交集是闭集. ("任意个"包括有穷个, 可数无穷个, 不可数个等所有情形)
5. 闭球
在度量空间(X,d)中的闭球定义为
其中r>0 为正实数.
备注:
闭球与开球的唯一区别在于定义中的小于号变成了小于等于号. 注意到此时我们还没有引入闭包(closure)的定义; 不要误以为闭球就是开球的闭包, 离散空间中以1为半径的球就是一个反例
习题: 设X=(0,1), 说明以1/2为心, 1/2为半径的闭球是(0,1).
习题: 证明闭球是闭集.
习题: 设X=Z(整数集), d为一维欧氏距离(两数差的绝对值), 这圆心为0, 半径为1的开球只包含一点, 而闭球这包含三点.
习题: 说明每个闭球都是非空集,即他们至少包含圆心这点.
6. R1中的构成区间和一般度量空间中的分区
7. 连通性
8. 路连通性
9. 聚点和导集
10. 黏着点和闭包
11. 孤立点
12. 边界点与边界
13. 有界性
14. Rn上的Bolzano-Weierstrass Theorem
15. Rn上的Cantor Intersection Theorem
16. 覆盖
17. Rn上的Lindlof定理
18. Rn上的Heine-Borel定理
19. 紧性
20. 点列极限与收敛
21. 柯西性
22. 完备性
