yihui Riemann积分基于阶梯函数（step function）定义，Lebesgue积分用简单函数（simple function）定义。阶梯函数的定义域是有限的闭区间，简单函数的定义域是可测集。闭区间一定可测，但可测的集合未必是区间，Lebesgue积分的应用范围比Riemann积分更广，一个简单的例子是Dirichlet函数，Riemann积分不存在，但Lebesgue积分存在。
dingpeng Riemann几分在历史上有着重要的贡献，但是它有一个致命的弱点：闭区间【0，1】上全体Riemann可积函数在范数|f|=\int_{0}^{1} |f(x)| dx的意义下不构成一个完备的赋范线性空间。。。。。新的积分理论建立的途径有很多，其中最直接的办法当推将上述不完备的赋范线性空间完备化。。。。。 （自陈天权《实变函数讲义·序言》，北大教材科可以买到） 序言讲的是本质，于是导出Lebesgue积分。 传统的书都是用测度论的方法讲的，比如周民强《实变函数论》；陈爷爷的书结合了两种观点。
yihui 一个[a, b]上的有界函数若存在Riemann积分，那么它可测且存在Lebesgue积分（与Riemann积分相等）。 说实话我从本科二年级学实变函数时开始就从没搞清楚Lebesgue积分、测度论对概率论究竟作出了什么关键贡献，不学测度论直接学概率论似乎也没遇见什么障碍啊。还请丁大侠指点一下迷津（我现在又开始上测度论的课了，郁闷）
cloud_wei 我们的测度论、实变也是很浅的上了上，蜻蜓点水似的。看样子以后我还得学实变十遍了 [s:13] 国内测度论教材据说严加安的不错，我们老师说他把书上没有证明的命题都补正了一遍，很辛苦，但很收获。 ps.我们这边概率所面试的题目一直是实变函数中的基本概念问题，都是侯老发问的，比如开集是怎么构造的？ 顺便发个严老的报告:http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=18698
dingpeng 其实要定义期望，非要用Lebesgue类型的积分不可。 比如，算空气的平均分子量，是把氧气、氮气等等的分子量作个加权平均：这其实就是分割值域的方法，而不是像Riemann积分那样，把单位体积的空气按照空间来分隔再求和。所以Riemann积分除了在算曲线围成面积的时候比较直观，其余时候都很不自然。概率论算期望天然就是在分割值域。 我觉得测度轮对概论论最关键的用处在条件数学期望，以及后面的鞅论。只有讲清楚了R—N导数之后，好像条件期望才能定义清楚。Kolmogorov 1933的工作，最重要的就是这条。学条件期望的时候，大家都会十分的崩溃。。。
dingpeng 《实变函数》课程第一节课，陈天权爷爷说：要不是Riemann显赫的名声，Riemann积分早就该进历史博物馆了！ 其实讲了Lebesgue积分，推广到测度轮，自然的就把Stieljes积分搞定了。 比如，概率论中算期望的公式：EX=\int X dP，这个积分dP完全是个抽象的符号，不可计算。证明了测度的变换公式（相当于变量替换），就有：EX=\int x dF(x)，这里的F（x）是随机变量X的分布函数，这个公式提供了可计算的方法。这个时候的关于分布函数F（x）的积分就是一个Stilejes积分。
softsquirrel Riemann Integration will never be obsolete because it describes rightly the intuition of integration: for centuries, people tried to do integrations not to calculate expectation of some fancy random variables but to measure the area under certain curves,and Riemann exactly captures that aspect. (not like Lebesgue who did something counter-intuitive to sum over areas slice by slice but horizontally)
dingpeng 是的，Riemann积分确实很直观，如果我们的视野仅仅在计算曲线面积的话。 Lebesgue积分则天生为概率论而生，因为计算期望就是分割值域。 从纯数学上，【0，1】区间上全体Riemann可积函数在L1范数（|f| = \int |f(x)| dx）下不构成一个完备的赋范线性空间，要在这样一个“畸形”的积分上建立微分方程理论或者概率论，几乎是不可能的。比如克莱松和霍曼德尔的《积分论》就采取这样的思路讲。
