请教一个比较难的用样本估计总体的概率分析问题（我自己提出一种解法，请各位大大看看对否）

flydreamlzs

在一个大盒子里按照一定比例均匀混合着红、黄、蓝三种颜色的小球，为了估计这三种颜色的小球的个数比例，我们进行了4次取样：

第一次取出来的红、黄、蓝三种颜色的球个数分别是a,b,c个；

第二次取出来d个红色球，黄色和蓝色球具体个数不知道，但是它们一共有e个；

第三次取出来f个黄色球，红色和蓝色球具体个数不知道，但它们一共有g个；

第四次取出来h个蓝色球，红色和黄色球具体个数不知道，但它们一共有i个。

现在问：如何根据以上的取样结果较为准确的估计原来大盒子里红，黄，蓝三种颜色小球的个数比例？

========================下面是我的分析，高手可略过不看=======================

可以把大盒子里的小球算作一个无限总体，我们一共进行了4次独立取样，每次取样量不一样多，样本量越多对总体的估计就越准确。

我们从第一次取样中可以估计,红，黄，蓝三种球占总体的比例分别是：

a/(a+b+c), b/(a+b+c) 和 c/(a+b+c),

从第二次取样可以估计：红球的比例为d/(d+e)

从第三次取样可以估计：黄球的比例为f/(f+g)

从第四次取样可以估计：蓝球的比例为h/(h+i)

下面我们用第一次取样结果结合第二次取样估计：红球占的比例=(a+d)/(a+b+c+d+e)

下面我们用第一次取样结果结合第三次取样估计：黄球占的比例=(a+f)/(a+b+c+f+g)

下面我们用第一次取样结果结合第四次取样估计：蓝球占的比例=(a+h)/(a+b+c+h+i)

这相当于对两次取样结果做了加权平均，样本量作为权数。

到这里问题来了，后三次独立取样结果分别影响这三种球的比例估计，导致计算出来的三个比例加在一起可能不等于100%。

我的解决办法是用1-（红球占的比例+黄球占的比例）的出来的篮球比例和按照(a+h)/(a+b+c+h+i)公式做出来的比例再次做个加权平均。

总感觉自己想的办法笨笨的，请教各位大大有好的解决办法没？

libingfei

设4次抽取权重一样：

设：个数比例分别为：x,y,z

一种更笨的暴力方法：

（即事件发生概率最大值）

1、当盒子(球数)无限大或是有放回抽取时：

等价于求如下方程最大值：

max=((a+b+c)!/a!b!c!)x^a*y^b*(1-x-y)^c+

((d+e)!/d!e!)*x^d*(1-x)^e+

((f+g)!/f!g!)*y^f*(1-y)^g+

((h+e)!/h!e!)*(x+y)^h*(1-x-y)^e

求偏导：

解如下方程：

dmax/dx=0

dmax/dy=0

即可得，分布率。

2、无放回抽取：

设4次抽取权重一样：

设总体由X个红,Y各蓝,Z个绿构成：

则等价于：

max=C(a,X)C(b,Y)C(c,Z)/C(a+b+c,X+Y+Z)+

C(d,X)C(e,Y+Z)/C(d+e,X+Y+Z)+

C(f,Y)C(g,X+Z)/C(f+g,X+Y+Z)+

C(h,Z)C(i,X+Y)/C(h+i,X+Y+Z)

依然求偏导解方程即可

flydreamlzs

回复第2楼的 libingfei：

谢谢您的回复！

前提假设是1）盒子里的小球无限多；2）四次抽样的权重不同，因为样本量越大对比例的估计越准确。

另外，您的解法我没看太懂，可能是我数学知识的欠缺，方便的话您能更详细的解释下吗？谢谢~！

flydreamlzs

回复第1楼的 flydreamlzs：

前提假设是1）盒子里的小球无限多；2）四次抽样的权重不同，因为样本量越大对比例的估计越准确。

不好意思，之前说的不是很明白。