久赌必输
从来只听过开赌场而富甲一方的，没听过有赌徒能靠赌博过上幸福生活的，反倒是家破人亡的不计其数。在赌场赌博的话，略去抽头不谈，就连赌局本身也是对赌场有利的。说难听点，去赌场赌钱就相当于直接送钱给赌场老板。就算是一对一机会均等的赌局，要是一直赌下去的话，也总有一天会输光的。这就是“久赌必输”。
假设每盘赌局的赌注是 1，而赌徒的财产是 n。在每盘赌局中，赌徒有 1/2 的概率赢，有 1/2 的概率输。那么，如果一直这样赌下去的话，赌徒输光的概率是多少呢？
显然，赌徒的钱越多，输光需要的局数也越多。当赌徒的财产是 n 时，我们记输光的概率为 p(n)。因为每次赌局有一半的可能赢，一半的可能输，赢的时候财产变成 n + 1，输的时候变成 n - 1，所以 p(n) = (p(n + 1) + p(n - 1))/2。当 n = 0 的时候，即使不用赌，所有东西都输光了，所以 p(0) = 1。
所以，p 可以看作一个满足下列递推关系的数列：
p(0) = 1
p(n+1) = 2 * p(n) - p(n-1)，也就是 p(n+1) - p(n) = p(n) - p(n-1)
容易验证 p(n) = n * p(1) - (n-1) 正好符合上面的递推关系。因为 p(n) ≥ 0，所以对于任意的 n，必定有 p(1) ≥ 1 - 1/n。因此 p(1) = 1，并且对于所有的 n，p(n) = 1。在无限次的赌博中，赌徒在某一次赌博中输光的概率是 1。
赌徒的赌博轨迹，可以用所谓的马尔可夫链来描述。把赌徒的财产值视为不同的状态，而每次赌局则相当于在这些状态之间转移，赢钱时转移到钱多些的状态，输钱时转移到钱少些的状态。而破产的状态就像个陷阱，是跳不出的，因为已经没有赌本了。如果一条马尔可夫链有这样的“陷阱”状态，而每一个状态都有可能到达“陷阱”的话，在不断的转移中，总有一天会掉到“陷阱”里去。所谓“久赌必输”，其实说的就是这么一个道理。
(转自 http://www.guokr.com/article/3270/?utm_source=related&utm_medium=banner&utm_campaign=rec)
