对"直观"的一点看法

2007-12-02 tingyuxuan 博士数学论坛点击: 611

对"直观"的一点看法

什么是直观？这个问题很难回答。我只能结合我的经历来说一下，但只能是粗浅的理解。有不正确的地方，敬请指正。

我在中南大学访问期间，与侯振挺老师接触比较多，他曾对我说过他的经历。根据他的口述，我想把他的经历简单对大家说一下，或许从侧面能回答这个问题。

侯振挺老师毕业于唐山铁道学院，最初学的是桥梁专业。由于他一直对数学有兴趣，所以他就自学数学。大学三四年级的时候，他买了Я.辛钦写的一本小书《公共事业中的数学》（名称我记不全了）。当时他看到书中有一个问题，后来用自己的方法证明了该问题并且发表在《中国科学》上。但是毕业后他被分配到长沙铁道学院，从事教学。大学不是正规的数学系毕业，工作单位又是工科学校，其学习数学的环境可想而知。所以他只能继续自学数学。但他后来的成就却非常大，有兴趣的朋友可以到网上艘一下。

这里我想说的是侯老师的直观能力。他的直观能力是概率界公认的。

对于随机变量的条件期望，他是这样解释的：“什么是条件期望？好比长沙铁道学院刚建校，学校处在几个小山之间，地面不平整。为了建房子，先平整土地。如果把地面先画成小块儿，在每个小块儿上平整，但不许把小块儿中的土挪走，这样就得到了局部的平整。如果再次画出更大的片，再局部平整就会得到稍大的平整。最后把铁道学院整个画成一片，就得到了一个完好的校园。实际上，条件期望就是‘画分区域’，然后局部平均。如果整个区域只有一个，那么得到的就是平均，也就是随机变量的数学期望”。我曾经在1991年暑假的时候，听过王梓坤先生讲条件期望，他说他曾经问A.N.Kolmogorov是怎样提出条件期的，.Kolmogorov本人也回答不清楚。我觉得这是对于条件期望最好的解释。

对于Markov过程，侯老师是这样解释的：“什么是Markov性？好比舞蹈学校去挑学员，看到一个小女孩儿，觉得小女孩儿基础不错，但将来女孩长大了，体形会怎样？把她妈妈找来，女孩将来的体形和她妈妈的现在的体形差不多，根据她妈妈的体形，大致可以推断女孩将来的体形。那么，有没有必要去找女孩的姥姥呢？没必要。女孩好比是‘将来’，妈妈好比是‘现在’，姥姥好比是‘过去’，那么这个例子说明，推断将来，只需要‘现在’的信息，而与‘过去’没有什么关系。也就是说，在已知‘现在’的条件下，‘将来’与过去独立。这就是Markov性。具有这样的性质的随机过程，就称为Markov过程”。

侯老师的直观理解有很多，由于篇幅所限，我不能一一列举。

我想，侯老师在那样的环境中自学数学，碰到每个概念，他都要思考一番，直到把概念、定理的内容与自己生活中的经历与体验联系起来，最后形成自己的理解。因此，没有老师指点，不但没有成为他的劣势，反而经过自己的努力，成为了优势。同他讨论Markov链的问题，别人说了一堆，他画出一条曲线，把各个要素同图象对应起来，然后说“这可能成立”，或者说“这不对，漏掉了一种情况”。所以我认为他真正把握了Markov链，真正把Markov链的直观与逻辑熔为了一体。

我想，整个数学对于我们来说都是一个浩瀚无边的大海，我们好比是海上的一叶小舟，那么引导我们航行的不是变幻莫测的海市蜃楼，而是我们头顶上的永恒不变的星空，也就是深植于我们内心深处的直觉与经验。

我过去曾看过许多数学书，如数理逻辑、集合论、黎曼几何、代数拓扑、微分动力系统，偏微方程，力学等。但到头来我总结一下，我感觉最好的还是现在的Markov过程。因为过去学的时候，由于时间太紧，或者说学习方法不对头，没有真正领悟到其中的三味。所以，后来很多东西在我脑海中只剩下了一些名词，并不能称为属于我的知识。

我从侯振挺老师那里明白了直观的重要性。

实际上，老一代的数学前辈都很注重直观。

D. Hilbert曾经说过：如果随便在大街上找一个人，你能对他说明白你现在正在做的数学，那么你做的数学才是好的数学。H. Wyle曾经回忆说：在哥廷根，Hilbert就像一个吹笛人，他优美的笛声使得我们这些老鼠都跳到了数学的大河里。我想，哥廷根在二战前能成为世界的数学中心，与F. Klein和D. Hilbert在数学直观方面的努力是分不开的。

我曾经在数学系的资料室看到过一本书，题目不记得了，大概是早期的泛函分析学家们（Banach, Steinhaus, Hahn）等人在创立泛函分析时所讨论的问题的合集，里面很多问题都是具体的问题，没有泛函分析的框架，甚至连泛函分析的概念都不多。由此看来，泛函分析的起源并不是抽象的空间，而是具体的，形象的数学问题。如果读F.黎斯的《泛函分析讲义》（下），我想会更好的理解泛函分析的这种风格。

我曾经听刘绍学先生说过：“把抽象的问题具体化，把具体的问题抽象化，这是学代数学的门径。”他说这句话来自于他的苏联老师库洛什。刘绍学先生说过：“我的老师傅种孙先生说‘一个老师讲课，三分之一的内容是课本上的内容，三分之二的内容是课外的内容，这样的老师才算好老师’。”我想傅种孙先生指的恐怕是数学直观的重要性吧。傅种孙先生于1962年去世，我没有缘分听他的课，但是我觉得傅先生的课一定非常吸引人。王世强先生写的《傅种孙先生与现代数学》中，记录了傅先生讲课时的许多精辟优美的论断，有兴趣的朋友不妨去看一下。

华罗庚先生的《从单位园谈起》就是从具体开始的，他从具体的实例逐步展开研究。一个国外的数学家对他的书评论到：读一本英文的著作，觉得读不大懂，后来发现书后引用了一本俄文书，读了俄文书，觉得还不明白，后来发现书后引用了一本意大利文书，读了意大利文书，觉得还不明白，后来发现书后引用了一本中文书，读了中文书，他才真正明白了，这本书给他的感觉就是这样（我只记得大意）。

张景中先生的小书《数学与哲学》、《数学家的眼光》我浏览过一点，有许多地方我觉得写得非常漂亮。他用非常通俗、非常精练的语言写出了许多数学发明的直观背景，我认为是目前能找到的最好的书。

我想数学直观与数学科普是两回事。数学科普是面对是大众，是吸引大众的眼球的。但数学直观是自己的，是数学思想的浓缩与升华，她帮助我们理解问题，并指引我们解决问题。

目前的数学书，由于篇幅（或者是研究者的风格）的限制，不能把直观的背景，或者说研究的思想写进书里，因此书里大都只剩下一堆逻辑符号。在学习时，我们必须从逻辑符号中“探出”背后的直观，当然我们的理解与发明者的理解会有出入（如侯振挺老师对于条件期望的解释未必是Kolmogorov本人的解释），但即使这样，我想我们也大有收获。

我曾经对我的研究生讲过，读一本好书，对书中的概念一定要有深入的思考，一定要自己举出（尽可能地）三个不同的例子，对于一个证明，一定要对比着具体的例子看他的证明，一定要把“逻辑的”知识体系转化为图象式的理解。只有这样才能明白作者的苦心，才能把别人的知识真正的转化为自己的理解。当然这与“炉火纯青”的境界还差的很远。但遗憾的是，没有一个人认真地这样做。

以上是我个人的观点，不当之处敬请大家多多指教。

具体讨论参见 http://www.math.org.cn/forums/index.php?showforum=52